Warum fällt mit zwei Würfeln so oft die 7? Wie wahrscheinlich ist ein Pasch? Und was bringt der Vorteil beim W20 wirklich? Würfel sind einfach, ihre Wahrscheinlichkeiten überraschen trotzdem regelmäßig. Hier rechnen wir die wichtigsten Fälle durch, vom einzelnen Würfel bis zu den Rollenspielwürfeln. Alle Zahlen sind exakt berechnet, gerundet auf zwei Stellen.
Ein Würfel: jede Seite gleich wahrscheinlich
Ein fairer Würfel mit n Seiten zeigt jede Zahl mit der Wahrscheinlichkeit 1/n. Beim normalen sechsseitigen Würfel, dem W6, sind das 1/6, also etwa 16,67 % pro Augenzahl. Der Durchschnitt eines Wurfs, der Erwartungswert, ist (n + 1) / 2. Beim W6 kommt man so auf 3,5, beim W20 auf 10,5 und beim W100 auf 50,5. Diese Zahl kann man nie würfeln, aber über viele Würfe pendelt sich der Mittelwert dort ein.
Wie lange wartet man auf eine 6? Im Durchschnitt sechs Würfe. Das heißt aber nicht, dass sie spätestens beim sechsten Wurf kommt. Manchmal kommt sie beim ersten, manchmal erst nach fünfzehn Versuchen. Der Würfel hat kein Gedächtnis, und jeder Wurf beginnt bei null. Probier es mit einem Würfel aus.
Zwei Würfel: warum die 7 am häufigsten fällt
Mit zwei Würfeln gibt es 6 × 6 = 36 Kombinationen, die alle gleich wahrscheinlich sind, wenn man die beiden Würfel unterscheidet. Die Summen sind es dagegen nicht. Eine 2 entsteht nur aus 1 und 1, eine 7 aber aus sechs Kombinationen: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4, und jeweils umgekehrt.
| Augensumme | Kombinationen (von 36) | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 2,78 % |
| 3 | 2 | 5,56 % |
| 4 | 3 | 8,33 % |
| 5 | 4 | 11,11 % |
| 6 | 5 | 13,89 % |
| 7 | 6 | 16,67 % |
| 8 | 5 | 13,89 % |
| 9 | 4 | 11,11 % |
| 10 | 3 | 8,33 % |
| 11 | 2 | 5,56 % |
| 12 | 1 | 2,78 % |
Die Verteilung ist ein Dreieck mit der Spitze bei 7, und 7 ist auch die durchschnittliche Summe. Deshalb ist in vielen Spielen die 7 etwas Besonderes, und deshalb sind bei Catan Felder mit 6 und 8 wertvoller als solche auf 2 und 12. Einen Pasch, also zwei gleiche Augenzahlen, gibt es in 6 von 36 Fällen, also mit 1/6. Die vollständige Tabelle mit „oder mehr“ und „oder weniger“ steht bei 2 Würfel werfen.
Drei Würfel: die Glocke wird runder
Mit drei Würfeln gibt es 216 Kombinationen. Die Summen reichen von 3 bis 18, und die Verteilung sieht schon fast wie eine Glockenkurve aus. Am häufigsten sind 10 und 11, mit je 27 Kombinationen, also 12,5 %. Die Ränder werden dagegen sehr selten.
| Augensumme | Kombinationen (von 216) | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 3 oder 18 | je 1 | je 0,46 % |
| 4 oder 17 | je 3 | je 1,39 % |
| 5 oder 16 | je 6 | je 2,78 % |
| 6 oder 15 | je 10 | je 4,63 % |
| 7 oder 14 | je 15 | je 6,94 % |
| 8 oder 13 | je 21 | je 9,72 % |
| 9 oder 12 | je 25 | je 11,57 % |
| 10 oder 11 | je 27 | je 12,5 % |
Der Durchschnitt liegt bei 10,5. Je mehr Würfel du addierst, desto stärker ballen sich die Summen in der Mitte. Ausprobieren kannst du das mit 3 Würfeln. Bei fünf Würfeln auf einmal sind fünf gleiche übrigens selten: 6 von 7776 Kombinationen, also 1 zu 1296. Wer mit fünf Würfeln spielt, findet die Tabellen dazu bei 5 Würfel werfen.
Mindestens eine 6 und die Doppelsechs
Eine der ältesten Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung stammt vom Spieltisch. Im 17. Jahrhundert wettete der Chevalier de Méré darauf, in vier Würfen mit einem Würfel mindestens eine 6 zu werfen. Das lohnte sich: Die Gegenwahrscheinlichkeit, viermal hintereinander keine 6 zu werfen, ist 5/6 hoch 4, also etwa 48,23 %. Damit gewinnt man die Wette mit 51,77 %.
Dann übertrug er die Idee auf zwei Würfel und wettete auf mindestens eine Doppelsechs in 24 Würfen. Klingt gleichwertig, ist es aber nicht: Die Chance liegt bei nur 49,14 %. Erst mit 25 Würfen kippt die Wette auf 50,55 %. Blaise Pascal und Pierre de Fermat haben solche Fragen 1654 in Briefen besprochen, und dieser Briefwechsel gilt als Ausgangspunkt der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Eine kurze Darstellung des Problems gibt es bei Wolfram MathWorld.
Rollenspielwürfel: W4 bis W100 und der Vorteil
In Rollenspielen wie Dungeons & Dragons kommen Würfel mit 4, 8, 10, 12, 20 und 100 Seiten dazu. Einzeln geworfen ist jede Seite gleich wahrscheinlich: beim W20 also 5 % pro Zahl, beim W100 1 %. Spannend wird es beim Vorteil. Dabei wirfst du zwei W20 und nimmst das höhere Ergebnis.
| Ziel beim W20 | Ein Wurf | Mit Vorteil (2W20, höherer zählt) |
|---|---|---|
| 10 oder mehr | 55 % | 79,75 % |
| 15 oder mehr | 30 % | 51 % |
| Natürliche 20 | 5 % | 9,75 % |
| Durchschnitt | 10,5 | 13,825 |
Der Vorteil bringt also am meisten bei mittelschweren Würfen und fast doppelt so viele natürliche 20. Beim Auswürfeln von Attributen ist 4W6 verbreitet: vier Würfel werfen, den niedrigsten weglassen, die drei höchsten addieren. Das ergibt im Schnitt 12,24 statt 10,5 bei 3W6. Die Verteilung findest du bei 4 Würfel werfen.
Unser Würfel wirft 1 bis 10 Würfel mit 4, 6, 8, 10, 12, 20 oder 100 Seiten, und du kannst einzelne Würfel antippen, um sie zu behalten. Jeder Wurf kommt aus dem kryptografischen Zufallsgenerator deines Browsers.
Aktualisiert am 3. November 2026